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log. sin A=log. A (1—A)
=log. A—0,0724 (4)2

log. A=log. sin A+0,0724 (4)*.

Ist nun der Sinus gegeben, und es soll der Bogen gefunden werden, so setzt man in das zweite Glied der Gleichung, rechts, sin A statt A annäherungsweise. Dann ist:

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A

sin A

be

Hiernach lässt sich zwischen zwei Grenzen des sin A eine Tafel für log. rechnen, woraus man sofort log. A aus jedem sin A durch leichte Rechnung erlangt. 19. Für gröfsere Bogen rechnen wir mit 5 Decimalstellen und setzen für r den Krümmungshalbmesser des Bogens, nach der davon weiterhin zu gebenden Theorie. Sei dann

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um hiernach Sinus gröfserer Bogen in Bogen zu verwandeln und umgekehrt, ist eine Hülfstafel zur Findung der M erfoderlich, deren Princip erst in der Folge erläutert werden kann. 20. Exempel:

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welches bis auf die letzte Ziffer mit den Angaben der Hülfstafel der Instruction übereinstimmt,

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21. Auf ähnliche Weise lassen sich die Sinus in Tangenten verwandeln und umgekehrt:

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und, wenn wir für das zweite Glied rechts den Werth setzen aus 18.

log.tg

A=log. sin A+3.0,0724 (sin A)î

=log. sin A+ 0,2172

A+ 0,2172 (sin A)2,

2

für kleine Bogen.

Für gröfsere Bogen wird, nach 19.

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22. Das von 1. bis 21. vorgetragne wird hinreichend sein zur Verständigung des Theiles der Geodäsie, welcher sich auf die Hypothese einer kugelförmigen Gestalt der Erde beschränkt.

Wir wenden uns nun im nächsten Capitel zu der Hypothese, welche mehr Wahrscheinlichkeit für sich hat, als jene.

Cap. II.

Die Erde als Sphäroid.

1. Man stellt sich die Erde vor als einen geometrischen Körper, entstanden durch Umwälzung einer Ellipse um ihre kleinere Hauptaxe.

2. Hieraus folgt, dafs die geographischen Erdmeridiane, welche durch die Endpunkte der Umdrehungsaxe gehen, sämtlich einander gleich und ähnlich sind.

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so ist die allgemeine Gleichung für einen Punkt auf dem Erdmeridian:

a2y2+b2x2a2b2,

wenn wir y und x als rechtwinkliche Coordinaten betrachten, deren Anfangspunkt die Mitte des Meridians; und die Axe der x durch den Äquatordurchmesser, die der y durch die Umdrehungsaxe ziehen.

4. Aus der Gleichung 3. folgt für zwei Punkte, (x, y); (x', y')

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Wird durch diese zwei Punkte in der Ellipse eine gerade Linie gezogen, so ist deren Gleichung

y' — y = y(x'′ — x);

y eine Constante, so lange die beiden Punkte dieselben. Aus beiden Gleichungen folgt, wenn die beiden Punkte als zusammenfallend, die schneidende gerade, als eine berührende, gesucht werden:

b2x a2 y

für jeden gegebenen Berührungspunkt (x, y).

Hieraus aber folgt, für den Winkel L, den eine durch den Berührungspunkt auf die Ellipse normal gezogne Linie mit dem Äquatordurchmesser macht:

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Hiebei ist zu bemerken, dafs dieser Winkel L für jeden Ort auf der Erde durch astronomische Hülfsmittel gefunden werden kann, daher immer als gegeben zu betrachten ist. Er heifst die geographische Breite, oder auch die Polhöhe des Ortes (x, y) und ist wie wir bald sehen werden, das wichtigste Element der Geodäsie.

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a2-b2

wenn wir

das Quadrat der Excentricität des Meridians, dividirt durch das des Äqua" a2

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y

tg L

sers.

ist der zwischen die Normal und die Ordinate y fallende Abschnitt des ÄquatorhalbmesNennen wir ihn: v, so ist

a(12) cos L

Also der Abschnitt zwischen der Normal und dem Anfangspunkt der Coordinaten:

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V (1—ε2 sin L3)

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Es ist ferner (y2+v2) die Länge der Normal zwischen der Curve und dem ÄquatorhalbNennen wir sie n, so ist:

messer.

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X-V

ccs L

ist die Länge der Normal, vom Äquatorhalbmesser bis zur Umdrehungsaxe. Diese also, m genannt, ist:

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Aus e) und f) ergiebt sich die ganze Länge der Normal von der Curve bis zur Umdrehungsaxe,

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ntg L ist die Länge der den Punkt (x, y) berührenden von diesem Punkte bis zum verlängerten Äquatordurchmesser. Nennen wir sie: t, so ist:

h). t=
....

a (1 —ε2) tg L V(1—ε2 sin L2)

V(x+y) ist die Länge des zu dem Punkte (x, y) gehörenden Erdradius. Nennen wir ihn r, so ist:

a \/ (1 — (2ɛ2 — ε*) sin L3)
V

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V(1-2 sin L2)

Nennen wir L' den Winkel, welchen der Erdradius des Ortes (x, y) mit dem Äquatordurchmesser macht, so ist tg L'=, also

k).... tg L'=(1—ε2) tg L.

Der Winkel L-L' ist der, welchen die Normal in dem Punkte (x, y) mit dem Erdradíus macht. Für ihn findet sich

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Dies sind die vornehmsten in der Geodäsie in Betracht kommenden Functionen der geographischen Breite eines Ortes.

6. Ein Hauptelement aller geodätischen Rechnungen ist der Krümmungshalbmesser eines gegebenen Punktes auf der Oberfläche der Erde. Es ist derjenige Kreishalbmesser, mit welchem ein Kreisbogen, gezogen durch den gegebenen Punkt, mit zwei unendlich nahen Punkten der Kurve auf beiden Seiten des gegebenen zusammen fällt.

Nennen wir: g den erwähnten Halbmesser eines durch den Punkt (x, y) zu beschreibenden Kreises. Die Coordinaten des Mittelpunktes dieses Letzteren: a parallel den x; ß parallel den y. Die Gleichung für den mit ihm beschriebenen Kreis ist hiernach

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Für zwei unendlich nahe Punkte (x, y) können wir e, a, ß, nach der oben gegebenen Definition, konstant setzen. Wenn wir also den Punkt (x, y) unendlich wenig variiren, so

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Da in diesem Falle die rechtwinklichen Coordinaten: x, y, der Gleichung angehören

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sie dann in obigem Ausdruck für e in der ersteren Stelle gesetzt, so ergiebt sich

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